Algebra 27 Vectores Un
vector es una entidad matemΓ‘tica que tiene magnitud y direcciΓ³n. Se puede representar grΓ‘ficamente como una flecha con una direcciΓ³n y longitud especΓficas. Los vectores en
R 2 y R 3 β^2 \space y \space β^3 R 2 y R 3 tienen 2 y 3 componentes respectivamente.
Vector en R 2 β^2 R 2 v = ( v 1 v 2 ) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} v = ( v 1 β v 2 β β ) Vector en R 3 β^3 R 3
v = ( v 1 v 2 v 3 ) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} v = β β β v 1 β v 2 β v 3 β β β β β Operaciones con Vectores p
Suma de Vectores :
( R 2 ) : a + b = ( a 1 + b 1 a 2 + b 2 ) ( \mathbb{R}^2 ): \space\ \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix} \
( R 2 ) : a + b = ( a 1 β + b 1 β a 2 β + b 2 β β ) ( R 3 ) : a + b = ( a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ) ( \mathbb{R}^3 ): \mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix} ( R 3 ) : a + b = β β β a 1 β + b 1 β a 2 β + b 2 β a 3 β + b 3 β β β β β MultiplicaciΓ³n por un escalar :
( R 2 ) : k β
a = ( k β
a 1 k β
a 2 ) ( \mathbb{R}^2 ):
k \cdot \mathbf{a} = \begin{pmatrix} k \cdot a_1 \\ k \cdot a_2 \end{pmatrix} ( R 2 ) : k β
a = ( k β
a 1 β k β
a 2 β β ) ( R 3 ) : k β
a = ( k β
a 1 k β
a 2 k β
a 3 ) ( \mathbb{R}^3 ):
k \cdot \mathbf{a} = \begin{pmatrix} k \cdot a_1 \\ k \cdot a_2 \\ k \cdot a_3 \end{pmatrix} ( R 3 ) : k β
a = β β β k β
a 1 β k β
a 2 β k β
a 3 β β β β β Producto Punto (Producto Escalar) :
( R 2 ) : a β
b = a 1 β
b 1 + a 2 β
b 2 ( \mathbb{R}^2 ): \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2
( R 2 ) : a β
b = a 1 β β
b 1 β + a 2 β β
b 2 β ( R 3 ) : a β
b = a 1 β
b 1 + a 2 β
b 2 + a 3 β
b 3 ( \mathbb{R}^3 ): \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 ( R 3 ) : a β
b = a 1 β β
b 1 β + a 2 β β
b 2 β + a 3 β β
b 3 β Producto Cruz (Solo en ( R 3 ) ( \mathbb{R}^3) ( R 3 ) ) :
a Γ b = β£ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 β£ = ( i β
β£ a 2 a 3 b 2 b 3 β£ , β j β
β£ a 1 a 3 b 1 b 3 β£ , k β
β£ a 1 a 2 b 1 b 2 β£ ) \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = ( i\cdot \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} , -j \cdot \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} , k \cdot \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} )
a Γ b = β£ β£ β i a 1 β b 1 β β j a 2 β b 2 β β k a 3 β b 3 β β β£ β£ β = ( i β
β£ β£ β a 2 β b 2 β β a 3 β b 3 β β β£ β£ β , β j β
β£ β£ β a 1 β b 1 β β a 3 β b 3 β β β£ β£ β , k β
β£ β£ β a 1 β b 1 β β a 2 β b 2 β β β£ β£ β ) Donde ( i j k ) = ( 1 1 1 ) \begin{pmatrix} i \\ j \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} β β β i j k β β β β = β β β 1 1 1 β β β β Norma de un Vector La norma (o magnitud) de un vector es la distancia desde el origen hasta el punto representado por el vector.
( R 2 ) : β£ β£ a β£ β£ = a 1 2 + a 2 2 ( \mathbb{R}^2 ):
||\mathbf{a}|| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} ( R 2 ) : β£β£ a β£β£ = a 1 2 β + a 2 2 β β ( R 3 ) : β£ β£ a β£ β£ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ( \mathbb{R}^3 ):
||\mathbf{a}|| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} ( R 3 ) : β£β£ a β£β£ = a 1 2 β + a 2 2 β + a 3 2 β β
Γngulo entre dos Vectores El Γ‘ngulo
ΞΈ \theta ΞΈ entre dos vectores se puede encontrar usando el producto punto:
cos β‘ ( ΞΈ ) = a β
b β£ β£ a β£ β£ β
β£ β£ b β£ β£ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}||} cos ( ΞΈ ) = β£β£ a β£β£ β
β£β£ b β£β£ a β
b β Punto medio entre dos vectores
Para R 2 \mathbb{R}^2 R 2 Dados dos vectores
a = ( a 1 a 2 ) y b = ( b 1 b 2 ) , e l p u n t o m e d i o ( m ) \mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \end{pmatrix} {\space} y {\space} \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \end{pmatrix} , {\space} el {\space} punto {\space} medio ( \mathbf{m} ) a = ( a 1 β a 2 β β ) y b = ( b 1 β b 2 β β ) , e l p u n t o m e d i o ( m ) es:
m = ( a 1 + b 1 2 a 2 + b 2 2 ) \mathbf{m} = \begin{pmatrix} \frac{a_1 + b_1}{2} \\ \frac{a_2 + b_2}{2} \end{pmatrix} m = ( 2 a 1 β + b 1 β β 2 a 2 β + b 2 β β β ) Para R 3 \mathbb{R}^3 R 3 Dados dos vectores
a = ( a 1 a 2 a 3 ) y b = ( b 1 b 2 b 3 ) , e l p u n t o m e d i o ( m ) \mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \ a_3 \end{pmatrix} {\space} y {\space} \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ b_3\end{pmatrix} , {\space} el {\space} punto {\space} medio ( \mathbf{m} ) a = ( a 1 β a 2 β a 3 β β ) y b = ( b 1 β b 2 β b 3 β β ) , e l p u n t o m e d i o ( m ) es:
m = ( a 1 + b 1 2 a 2 + b 2 2 a 3 + b 3 2 ) \mathbf{m} = \begin{pmatrix} \frac{a_1 + b_1}{2} \\ \frac{a_2 + b_2}{2} \\ \frac{a_3 + b_3}{2} \end{pmatrix} m = β β β 2 a 1 β + b 1 β β 2 a 2 β + b 2 β β 2 a 3 β + b 3 β β β β β β CondiciΓ³n de paralelismo entre vectores v β / / w β β
β βΊ β
β β Ξ± β R β 0 / v β = Ξ± β
w β \overrightarrow{v}//\overrightarrow{w} \iff {\space} \exists \space \alpha \in \R \neq 0 / {\space} \overrightarrow{v} = \alpha β
\overrightarrow{w} v // w βΊ β Ξ± β R ξ = 0/ v = Ξ± β
w v β y w β \overrightarrow{v} \space y \space \overrightarrow{w} v y w son paralelos
si y solo si un
Ξ± \alpha Ξ± diferente que 0 que multiplicado por
w β \overrightarrow{w} w me de
w β \overrightarrow{w} w
CondiciΓ³n de Perpendicularidad V β β₯ W β β
β βΊ β
β V β β
W β = 0 \overrightarrow{V} \perp \overrightarrow{W} \space \iff \overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{W} = 0 V β₯ W βΊ V β
W = 0 Dos vectores son ortogonales/ perpendiculares solo y solo si el producto escalar de ambos es IGUAL a 0
Distancia d ( P , Q ) = β£ β£ Q β P β£ β£ d(P,Q) = ||Q-P|| d ( P , Q ) = β£β£ Q β P β£β£ Rectas
Rectas en R 3 β^3 R 3 Una recta en R 3 β^3 R 3 ( a , b , c ) (a,b,c) ( a , b , c ) v d β \overrightarrow{v_d} v d β β Entonces podemos definir al conjunto de todos los puntos en la recta por la siguiente ecuacion
{ β¨ x , y , z β© = β¨ a , b , c β© + Ξ» β
v d β , Ξ» β R } \lbrace \langle x,y,z \rangle = \langle a,b,c \rangle + \lambda \cdot \overrightarrow{v_d}, \space \lambda \inβ \rbrace {β¨ x , y , z β© = β¨ a , b , c β© + Ξ» β
v d β β , Ξ» β R } Esta expresion representa que empezamos en el punto ( a , b , c ) (a,b,c) ( a , b , c ) v d β \overrightarrow{v_d} v d β β
Si simplificamos llegamos a
Ecuacion vectorial de la recta
L : { β¨ x , y , z β© = β¨ a , b , c β© + Ξ» β
v d β } L: \lbrace \langle x,y,z \rangle = \langle a,b,c \rangle + \lambda \cdot \overrightarrow{v_d}\rbrace L : {β¨ x , y , z β© = β¨ a , b , c β© + Ξ» β
v d β β } A esta ecuacion la llamamos la ecuacion vectorial de la recta porque consiste de vectores. Ya que tambien podemos rescribirla como tres ecuaciones separadas del modo
s i v β = β¨ v 1 , v 2 , v 3 β© si \space \overrightarrow{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle s i v = β¨ v 1 β , v 2 β , v 3 β β© , entonces
( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) pertenece a la recta si :
L = { x = a + Ξ» β
v 1 y = b + Ξ» β
v 2 z = c + Ξ» β
v 3 L = \begin{cases}
x= a \space + \lambda \cdot v_1 \\
y= b \space + \lambda \cdot v_2 \\ z= c \space + \lambda \cdot v_3
\end{cases} L = β© β¨ β§ β x = a + Ξ» β
v 1 β y = b + Ξ» β
v 2 β z = c + Ξ» β
v 3 β β se satisfacen por el mismo parametro
Ξ» β R \lambda \in \R Ξ» β R . Esto se llama
La ecuacion parametrica de la recta.
Como encuentro la interseccion de dos rectas en R 3 \R^3 R 3 Ejemplo hallar si existe la interseccion entre L 1 β© L 2 L_1 \cap L_2 L 1 β β© L 2 β Donde
L 1 : = ( 2 , 1 , 0 ) + Ξ» β
( β 1 , β 1 , β 1 ) L_1: = (2,1,0) + \lambda \cdot (-1,-1,-1) L 1 β := ( 2 , 1 , 0 ) + Ξ» β
( β 1 , β 1 , β 1 ) y
L 2 : = ( 3 , 0 , 5 ) + Ξ³ β
( 2 , 0 , 6 ) L_2: = (3,0,5) + \gamma \cdot (2,0,6) L 2 β := ( 3 , 0 , 5 ) + Ξ³ β
( 2 , 0 , 6 )
Paso 1: paso ambas rectas de su forma vectorial a la forma parametrica
L 1 = { x = 2 + Ξ» β
β 1 y = 1 + Ξ» β
β 1 z = 0 + Ξ» β
β 1 L_1 = \begin{cases}
x= 2 \space + \lambda \cdot -1 \\
y= 1 \space + \lambda \cdot -1 \\ z= 0 \space + \lambda \cdot -1
\end{cases} L 1 β = β© β¨ β§ β x = 2 + Ξ» β
β 1 y = 1 + Ξ» β
β 1 z = 0 + Ξ» β
β 1 β
L 2 = { x = 3 + Ξ³ β
2 y = 0 + Ξ³ β
0 z = 5 + Ξ³ β
6 L_2 = \begin{cases}
x= 3 \space + \gamma \cdot 2 \\
y= 0 \space + \gamma \cdot 0\\ z= 5 \space + \gamma \cdot 6
\end{cases} L 2 β = β© β¨ β§ β x = 3 + Ξ³ β
2 y = 0 + Ξ³ β
0 z = 5 + Ξ³ β
6 β
Paso 2: igualo ambos sistemas
\begin{alignat}
2 \space + -\lambda = \space + 2\gamma \\
1 \space + -\lambda = \space 0\\ \lambda= 5 \space + 6\gamma
\end{alignat} Despejo ambos lados y llego a que
Ξ» = 1 \lambda = 1 Ξ» = 1 con eso ya sabido remplazo para averiguar
Ξ³ = β 1 \gamma = -1 Ξ³ = β 1 con eso valores remplazo en cada una de las rectas respectivamente donde tengo que alcanzar un vector donde si en ambas rectas coincide entonces ese es el punto de interseccion entre ambas rectas
L 1 = { x = 2 + 1 β
β 1 y = 1 β 1 z = β 1 L_1 = \begin{cases}
x= 2 \space + 1\cdot -1 \\
y= 1-1 \\ z= -1
\end{cases} L 1 β = β© β¨ β§ β x = 2 + 1 β
β 1 y = 1 β 1 z = β 1 β Donde el punto en
L 1 = ( 1 , 0 , β 1 ) L_1 = (1,0,-1) L 1 β = ( 1 , 0 , β 1 ) ahora remplazo en la otra recta
L 2 = { x = 3 + ( β 1 ) β
2 y = 0 + β ( 1 ) β
0 z = 5 + ( β 1 ) β
6 L_2 = \begin{cases}
x= 3 \space + (-1) \cdot 2 \\
y= 0 \space + -(1)\cdot 0\\ z= 5 \space + (-1) \cdot 6
\end{cases} L 2 β = β© β¨ β§ β x = 3 + ( β 1 ) β
2 y = 0 + β ( 1 ) β
0 z = 5 + ( β 1 ) β
6 β Y me queda que el punto el punto en
L 2 = ( 1 , 0 , β 1 ) L_2 = (1,0,-1) L 2 β = ( 1 , 0 , β 1 ) por lo tanto la interseccion
L 1 β© L 2 = { ( 1 , 0 , β 1 ) } L_1 \cap L_2 = \lbrace (1,0,-1) \rbrace L 1 β β© L 2 β = {( 1 , 0 , β 1 )} Planos R 3 β^3 R 3 Un plano en R 3 β^3 R 3 ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) v β \overrightarrow{v} v w β \overrightarrow{w} w El plano son todos los puntos de forma < x , y , z > <x,y,z> < x , y , z > ( a , b , c ) (a,b,c) ( a , b , c ) ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) v β \overrightarrow{v} v w β \overrightarrow{w} w { β¨ x , y , z β© = β¨ a , b , c β© + Ξ± v β + Ξ² w β , t , s β R 3 } \lbrace \langle x,y,z \rangle = \langle a,b,c \rangle +\alpha \overrightarrow{v} + \beta \overrightarrow{w} ,t ,s \in β^3 \rbrace {β¨ x , y , z β© = β¨ a , b , c β© + Ξ± v + Ξ² w , t , s β R 3 } Lo cual puede ser simplificado como su forma parametrica
DefiniciΓ³n en su forma parametrica
Ξ : Ξ± β
v β + Ξ² β
w β + p \Pi : \alpha\cdot \overrightarrow{v}\space+\beta \cdot \overrightarrow{w} \space + p Ξ : Ξ± β
v + Ξ² β
w + p
DefiniciΓ³n en forma general Ξ : A β
x + B β
y + C β
z + D \Pi: A \space\cdot x \space + B \space\cdot y \space + C \space\cdot z \space \space +D Ξ : A β
x + B β
y + C β
z + D donde las componentes
( A , B , C ) (A,B,C) ( A , B , C ) son equivalente a los componentes de la Normal
N β \overrightarrow{N} N osea
N β = < A , B , C > \overrightarrow{N} = \space <A,B,C> N = < A , B , C >
EcuaciΓ³n Normal del plano y su pase a a la forma General
N β β
( X β β P β ) = 0 \overrightarrow{N} \cdot (\overrightarrow{X}-\overrightarrow{P}) =0 N β
( X β P ) = 0 Ξ = { x β R 3 : N β β
( X β β P β ) = 0 } \Pi \space= \lbrace x \in β^3: \overrightarrow{N} \cdot \space (\overrightarrow{X} -\overrightarrow{P}) =0 \rbrace Ξ = { x β R 3 : N β
( X β P ) = 0 } Que tambien podremos expresar de la siguiente manera
Ξ : N X β
( X β P x ) + N Y β
( Y β P y ) + N Z β
( Z β P z ) = 0 \Pi :N_X \cdot(X-P_x) + N_Y\cdot(Y-P_y) \space + N_Z \cdot(Z-P_z) =0 Ξ : N X β β
( X β P x β ) + N Y β β
( Y β P y β ) + N Z β β
( Z β P z β ) = 0
Donde una vez despejado nos quedaria de la forma general :
Ξ : A β
x + B β
y + C β
z + D \Pi: A \space\cdot x \space + B \space\cdot y \space + C \space\cdot z \space \space +D Ξ : A β
x + B β
y + C β
z + D
Intersecciones
Distancia entre puntos y planos
Sistemas Lineales Definicion 1.1: Una ecuacion lineal es una ecuacion de la forma a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = b a_1x_1+a_2x_2+ ...+a_nx_n =b a 1 β x 1 β + a 2 β x 2 β + ... + a n β x n β = b a i a_i a i β b b b x i x_i x i β x i x_i x i β Definicion 1.2 : Un sistema de ecuaciones lineales es un set de m m m { a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + . . . + a m n x n = b m \begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b1\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b2\\ . \\.\\.\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=bm
\end{cases} β© β¨ β§ β a 11 β x 1 β + a 12 β x 2 β + ... + a 1 n β x n β = b 1 a 21 β x 1 β + a 22 β x 2 β + ... + a 2 n β x n β = b 2 . . . a m 1 β x 1 β + a m 2 β x 2 β + ... + a mn β x n β = bm β Asumimos que todos los coeficientes
a i j a_{ij} a ij β son sabidos y que los terminos constantes
b i b_i b i β tambien lo son. Asi que podemos
A x β = b β A\overrightarrow{x} =\overrightarrow{b} A x = b
Definicion 1.3 Decimos que un sistema tiene soluciones si encontramos todos los valores de x i x_i x i β
Clasificacion de sistemas
Matriz ampliada y algoritmo de reduccion Supongamos el siguiente sistema :
{ x β 6 y + 2 z β w = β 4 x β 6 y β 2 z = 2 3 x β 12 y + 2 z β 2 w = β 6 \begin{cases}
x-6y+2z-w = -4\\
x-6y-2z = 2 \\3x-12y+2z-2w=-6
\end{cases} β© β¨ β§ β x β 6 y + 2 z β w = β 4 x β 6 y β 2 z = 2 3 x β 12 y + 2 z β 2 w = β 6 β La informacion del sistema la vuelco a una matriz ampliada
[ 1 β 6 2 1 4 1 β 6 β 2 0 2 3 β 12 2 β 2 β 6 ] \left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -6 & 2 & 1 & 4 \\
1 & -6 & -2 & 0 & 2 \\
3 & -12 & 2 & -2 & -6
\end{array}\right]
β£ β‘ β 1 1 3 β β 6 β 6 β 12 β 2 β 2 2 β 1 0 β 2 β 4 2 β 6 β β¦ β€ β
Matrices Definicion: Una matriz es una m x n mxn m x n n n n m m m Ej :
A = ( 1 0 0 1 ) β R 2 x 3 A =\left(\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right) \in \reals^{2x3} A = ( 1 0 β 0 1 β ) β R 2 x 3 Operaciones fundamentales Potenciacion en matrices cuadradas Producto de matriz por escalar Triangulacion de matriz Operaciones permitidas
Algoritmo de reduccion de Gauss / Gauss-Jordan Ejemplo: dada la siguiente matriz ampliada
[ 0 1 β 1 1 1 2 3 2 3 2 1 0 ] \left[\begin{array}{ccc|c}
0 &1 & -1 &1 \\1 & 2 & 3 & 2 \\3 &2 &1&0
\end{array}\right] β£ β‘ β 0 1 3 β 1 2 2 β β 1 3 1 β 1 2 0 β β¦ β€ β Paso 1: Miro en la primera columna y busco un numero no nulo , si todos son 0, vuelvo a empezar en el sistema sin esa columna Busco el pivote en este caso a 21 = 1 a_{21}=1 a 21 β = 1 Paso 2: Muevo el pivote hacia la posicion a 11 a_{11} a 11 β F 1 β F 2 F1 \leftrightarrow F2 F 1 β F 2 [ 1 2 3 2 0 1 β 1 1 3 2 1 0 ] \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 &1 & -1 &1 \\3 &2 &1&0
\end{array}\right] β£ β‘ β 1 0 3 β 2 1 2 β 3 β 1 1 β 2 1 0 β β¦ β€ β Paso 3: Anulo todo lo que se encuentra debajo del pivote via la operacion F 3 = F 3 + 4 F 2 F3= F3 + 4F2 F 3 = F 3 + 4 F 2 [ 1 2 3 2 0 1 β 1 1 0 0 β 12 β 2 ] \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 &1 & -1 &1 \\0 &0 &-12&-2
\end{array}\right] β£ β‘ β 1 0 0 β 2 1 0 β 3 β 1 β 12 β 2 1 β 2 β β¦ β€ β A partir de ahora para la presentacion del conjunto solucion miramos la ultima fila que nos queda
12 z = β 2 12z=-2 12 z = β 2 donde despejamos la ultima variable con la cordenada mas chica en funcion de las otras por lo que nos termina quedad
z = 1 / 6 ; y = 7 / 6 ; x = β 5 / 6 z = 1/6 ; \space y=7/6; x=-5/6 z = 1/6 ; y = 7/6 ; x = β 5/6 osea
S = { ( β 5 6 ; 7 6 ; 1 6 } S= \lbrace(-\frac{5}{6};\frac{7}{6};\frac{1}{6}\rbrace S = {( β 6 5 β ; 6 7 β ; 6 1 β } Rango de matriz Definicion : dado
A β R M x N A \in \reals^{MxN} A β R M x N el rango (o el rango fila) de
A A A es la cantidad de filas que se quedan sin anular luego de reducirla
Ej
( A β£ β£ B ) = [ 1 2 1 0 1 2 β 1 4 2 4 0 4 ] β R 3 x 4 (A||B) = \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 0 \\ 1 &2 & -1 &4 \\2 &4 &0&4
\end{array}\right] \in \reals^{3x4} ( A β£β£ B ) = β£ β‘ β 1 1 2 β 2 2 4 β 1 β 1 0 β 0 4 4 β β¦ β€ β β R 3 x 4 La cual mediante Gauss jordan
( A β£ β£ B ) = [ 1 2 1 0 0 0 β 2 4 0 0 0 0 ] β R 3 x 4 (A||B) = \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 &0 & -2 &4 \\0 &0 &0&0
\end{array}\right] \in \reals^{3x4} ( A β£β£ B ) = β£ β‘ β 1 0 0 β 2 0 0 β 1 β 2 0 β 0 4 0 β β¦ β€ β β R 3 x 4 R G ( A β£ β£ B ) = 2 RG(A||B) =2 RG ( A β£β£ B ) = 2 ; La cantidad de filas sin anular de B
Teorema de Rouche-Frobenius Dado un sistema
( A β£ b ) ; A β R m x n ; b β R m x n (A|b); A\in \reals^{mxn}\space{} ;b\in \reals^{mxn} ( A β£ b ) ; A β R m x n ; b β R m x n R G ( A ) β€ n β§ R G ( A ) β€ m RG(A) \leq n \space \land RG(A) \leq m RG ( A ) β€ n β§ RG ( A ) β€ m si R G ( A ) = 0 RG(A) = 0 RG ( A ) = 0 SI R G ( A ) < R G ( b ) RG(A) < RG(b) RG ( A ) < RG ( b ) SI R G ( A ) = R G ( A β£ B ) < n RG(A) = RG(A|B) < n RG ( A ) = RG ( A β£ B ) < n SI R G ( A ) = n = R G ( A β£ B ) RG(A) = n = RG(A|B) RG ( A ) = n = RG ( A β£ B ) Matriz inversa La inversa de una matriz expresada como
A β 1 A^{-1} A β 1 . tal que
A A β 1 = A β 1 A = I AA^{-1} = A^{-1} A =I A A β 1 = A β 1 A = I Donde I es la matriz identitdad. Que esta m,
Parametros
Acoplados
Ecuaciones matriciales equivalentes Determinantes
