Algebra 27
Vectores
Un vector es una entidad matemática que tiene magnitud y dirección. Se puede representar gráficamente como una flecha con una dirección y longitud específicas. Los vectores en tienen 2 y 3 componentes respectivamente.
- Vector en
- Vector en
Operaciones con Vectores
pSuma de Vectores:
Multiplicación por un escalar:
Producto Punto (Producto Escalar):
- Producto Cruz (Solo en ):
Donde
Norma de un Vector
La norma (o magnitud) de un vector es la distancia desde el origen hasta el punto representado por el vector.
Ángulo entre dos Vectores
El ángulo entre dos vectores se puede encontrar usando el producto punto:
Punto medio entre dos vectores
Para
Dados dos vectores es:
Para
Dados dos vectores es:
Condición de paralelismo entre vectores
son paralelos si y solo si un diferente que 0 que multiplicado por me de
Condición de Perpendicularidad / ortogonalidad de vectores
Dos vectores son ortogonales/ perpendiculares solo y solo si el producto escalar de ambos es IGUAL a 0
Distancia
Rectas
Rectas en
Una recta en esta determinada por un punto en esa recta y un vector director que es paralelo a la recta.
Entonces podemos definir al conjunto de todos los puntos en la recta por la siguiente ecuacion
Esta expresion representa que empezamos en el punto y vamos sumando todos los escalares multiplos de
Si simplificamos llegamos a
Ecuacion vectorial de la recta
A esta ecuacion la llamamos la ecuacion vectorial de la recta porque consiste de vectores. Ya que tambien podemos rescribirla como tres ecuaciones separadas del modo
, entonces pertenece a la recta si :
se satisfacen por el mismo parametro . Esto se llama La ecuacion parametrica de la recta.
Como encuentro la interseccion de dos rectas en de manera practica
Ejemplo hallar si existe la interseccion entre
Donde y
Paso 1: paso ambas rectas de su forma vectorial a la forma parametrica
Paso 2: igualo ambos sistemas
Despejo ambos lados y llego a que con eso ya sabido remplazo para averiguar con eso valores remplazo en cada una de las rectas respectivamente donde tengo que alcanzar un vector donde si en ambas rectas coincide entonces ese es el punto de interseccion entre ambas rectas
Donde el punto en ahora remplazo en la otra recta
Y me queda que el punto el punto en por lo tanto la interseccion
Planos
Un plano en esta determinado por un punto en el plano y dos vectores directores y que son paralelos al plano. Importante denotar que necesitamos dos vectores paralelos al plano en comparacion a uno solo en la recta ya que en este caso estamos utilizando mas de una dimension de movimiento.
El plano son todos los puntos de forma tal que el desplazamiento del vector desde hasta es la suma de un multiplo escalar de y . Lo cual podemos definir formalmente de la siguiente manera:
Lo cual puede ser simplificado como su forma parametrica
Definición en su forma parametrica
Definición en forma general
donde las componentes son equivalente a los componentes de la Normal osea
Ecuación Normal del plano y su pase a a la forma General
Que tambien podremos expresar de la siguiente manera
Donde una vez despejado nos quedaria de la forma general :
Intersecciones
Distancia entre puntos y planos
Sistemas Lineales
Definicion 1.1: Una ecuacion lineal es una ecuacion de la forma donde los coeficientes y son constantes y las variables son incognitas. Es importar dentoar que cada termino a la izquierda tiene exactamente una variable y esta elevada a la primera potencia.
Definicion 1.2 : Un sistema de ecuaciones lineales es un set de ecuaciones cuya forma general es
Asumimos que todos los coeficientes son sabidos y que los terminos constantes tambien lo son. Asi que podemos
Definicion 1.3 Decimos que un sistema tiene soluciones si encontramos todos los valores de que hacen que el sistema sea verdad.
Clasificacion de sistemas
Matriz ampliada y algoritmo de reduccion
Supongamos el siguiente sistema :
La informacion del sistema la vuelco a una matriz ampliada
Matrices
Definicion: Una matriz es una -upla de numeros reales en forma de grilla con columnas y filas.
Ej :
Operaciones fundamentales
- Suma y resta de matrices
- Potenciacion en matrices cuadradas
- Producto de matriz por escalar
Triangulacion de matriz
Operaciones permitidas
Algoritmo de reduccion de Gauss / Gauss-Jordan
Ejemplo: dada la siguiente matriz ampliada
- Paso 1: Miro en la primera columna y busco un numero no nulo , si todos son 0, vuelvo a empezar en el sistema sin esa columna
- Busco el pivote en este caso
- Paso 2: Muevo el pivote hacia la posicion ( es decir arriba de todo , aplicando el cambio de fila como operacion elemental
- Paso 3: Anulo todo lo que se encuentra debajo del pivote via la operacion
A partir de ahora para la presentacion del conjunto solucion miramos la ultima fila que nos queda donde despejamos la ultima variable con la cordenada mas chica en funcion de las otras por lo que nos termina quedad osea
Rango de matriz
Definicion : dado el rango (o el rango fila) de es la cantidad de filas que se quedan sin anular luego de reducirla
Ej
La cual mediante Gauss jordan
; La cantidad de filas sin anular de B
Teorema de Rouche-Frobenius
Dado un sistema
- si , el sistema es SCD.
- SI , el sistema es SI.
- SI , El sistema es SCI.
- SI , El sistema es SCD.
Matriz inversa
La inversa de una matriz expresada como . tal que
Donde I es la matriz identitdad. Que esta m,